DETERMINAREA

CONSTANTEI ELASTICE A UNUI RESORT

Consideratii teoretice

A. Fie un resort de masa neglijabila, lungime l0 si constanta elastica k, suspendat de capatul sau superior. La capatul inferior este atarnat un corp de masa M. Resortul se alungeste cu D l=l–l0 sub actiunea greutatii M·g a corpului. Forta elastica –k·Dl si greutatea mentin sistemul corp-resort in echilibru:

M·g = k·D l (1)

de unde putem afla constanta elastica k a resortului:

k = M·g/D l (2)

Relatia (2) permite calcularea constantei elastice k a resortului, prin metoda statica. Masa M a corpului se afla prin cantarire, D l se masoara cu rigla, iar g@ 9,81 m/s2.

Figura 1. Deformarea unui resort.

B. Daca o forta deformatoare, Fd, scoate sistemul din pozitia de echilibru, alungind resortul cu x0 si apoi lasandu-l liber, acesta va executa o miscare oscilatorie, de amplitudine x0. Ecuatia de miscare a sistemului este:

M·a= –k·x                             (3)

sau:
d2x/dt2 +(k/M)·x =0             (4)
Solutia ecuatiei (4) este:
x(t) = x0·sin(w ·t+p /2)         (5)

cu w =(M/k)1/2 - pulsatia miscarii oscilatorii. Fiindca:

w =2·p /T                             (6)

rezulta:
k = 4·p2·M/T2                     (7)

Aceasta reprezinta expresia constantei elastice a resortului, determinata prim metoda dinamica. Perioada T a miscarii oscilatorii se afla cronometrand durata "t" a "n" oscilatii complete (T= t/n).

Daca masa m a resortului nu este neglijabila, trebuie luata in considerare contributia ei la perioada oscilatiilor. Masa m a resortului este uniform distribuita de-a lungul lungimii sale l. Densitatea liniara de masa este m = m/l. Masa elementului de lungime dx, aflat la distanta x de punctul O de sustinere, se scrie:

dm = m ·dx = (m/l)·dx         (8)

Presupunem o variatie liniara a vitezei de la v0=0 (capatul fix o este in repaus) pana la vmax=v (viteza capatului liber la trecerea prin pozitia de echilibru), cand x ia valori de la 0 la l. In consecinta, viteza elementului dx, aflat la distanta x de punctul de sustinere, va fi:

vx = v·x/l                 (9)
Energia cinetica a elementului dm este:

dEC = dmx ·vx2/2 = (m/l)·dx·(v·x/l)2/2         (10)

sau:
dEC = dx·m·v2·x2/(2·l3)                     (11)

Efectuand integrarea, se afla energia cinetica a intregului resort (de masa m si lungime l) cand extremitatea inferioara trece prin pozitia de echilibru:

EC = (m/3)·v2/2                     (12)

Rezultatul (12) exprima contributia masei resortului la energia cinetica de oscilatie a intregului sistem corp-resort. Aceasta contributie este aceea a unui corp cu masa m/3, atarnat la capatul liber al resortului.

Considerand intregul sistem (fig.3) energia cinetica totala este:

WC = (M+m/3)·v2/2         (13)

Egaland expresia (13) cu energia potentiala maxima Wp=k·A2/2, se obtine pentru constanta elastica a resortului k, expresia:

k = (M+m/3)·4·p2/T2 (14)

In calculele de mai sus, a fost luata in considerare expresia v =w ·A pentru valoarea maxima a vitezei si w = 2·p /T. Relatia (14) permite aflarea constantei unui resort elastic prin metoda dinamica, daca se cunosc masa corpului "M", masa resortului "m" si se masoara durata "t" a "n" oscilatii, aflandu-se astfel perioada T= t/n.

Metoda experimentala

Metoda statica

1. Se citeste pozitia initiala a capatului inferior al resortului.

2. Se atarna pe rand masele marcate M1, M2 etc. masurandu-se, de fiecare data, alungirile D l1, D l2 etc.

3. Datele se trec in tabelul A.

4. Rezultatul final se da sub forma: k = kmediu ±D k

Tabelul A
 
m (g) M (g) D l (mm) k (N/m) kmediu(N/m) D k/k (%)
           
           
           

Metoda dinamica

  1. Se stabileste pozitia de echilibru a resortului cu masa marcata M1.
  2. Se pune in oscilatie sistemul M1-resort, provocand o alungire initiala de 2 - 3 cm.
  3. Se cronometreaza n=20 de oscilatii complete si se determina perioada de oscilatie T1=t/n.
  4. Se repeta operatiile pentru corpul M2 etc.;
  5. Rezultatele se trec in tabelul B.
Tabelul B
 
m (g) M (g) M+m/3 (g) T (s) k

(N/m)

 kmediu

(N/m)

 D k/k (%)
             
             
             

 

Prelucrarea datelor experimentale

Metoda statica Se calculeaza k cu relatia (2) si se completeaza tabelul A. Calculul erorilor se face cu relatia:

D k/k = D M/M+D g/g+D (D l)/D l

Metoda dinamica Se calculeaza k cu relatia (14) si se completeaza tabelul B. Calculul erorilor se face cu relatia:

D k/k = 2·D T/T+D (M+m/3)/(M+m/3)+2·Dp /p